全国数学建模大赛E题专科组解题思路（附代码）

下面是一个整体的思路框架：

1. 问题 1：划分时段并估算车流量

• 目标：将一天划分为若干时段，估算每个时段内各个相位（直行、左转、右转）车流量。
• 思路：
  • 数据预处理：首先，根据监控设备采集到的车辆信息（如车牌号、时间、方向等），分析不同时段的车流量变化趋势。
  • 时段划分：可以使用聚类算法（如K-means）对流量数据进行分析，将车流量较为稳定的时段划分出来。还可以结合高峰期和非高峰期的交通特征手动划分时段。
  • 相位估算：由于摄像头只能检测方向，不知道车辆的转向，需要建立一个转向概率模型（可能基于历史数据或区域的交通流量特性）来估算各个相位的车流量。

2. 问题 2：信号灯优化配置

• 目标：优化信号灯时长，以使两条主路上的车流平均速度最大化。
• 思路：
  • 交通流模型：首先，构建交通流模型，如基于车队模型、排队论等，来描述车辆通过交叉口的动态。
  • 优化方法：可以使用遗传算法或其他智能优化算法，以平均速度最大为目标函数，对信号灯的绿灯时长进行优化。同时需要考虑车流量、车道容量等因素。
  • 仿真模拟：最后，使用交通仿真软件（如VISSIM）验证信号灯配置的优化效果。

3. 问题 3：巡游车辆和停车位需求估算

• 目标：分析五一黄金周期间寻找停车位的巡游车辆，并估算所需的临时停车位数量。
• 思路：
  • 巡游车辆判定：通过分析车辆在某一时段内的多次低速行驶或反复经过某些路段的行为，可以识别出那些可能在寻找停车位的车辆。
  • 停车位需求估算：根据巡游车辆数量、停车时长、车流高峰期和平均停留时间等参数，估算假期景区临时停车位的需求。

4. 问题 4：临时管控措施效果评价

• 目标：结合数据，评价五一黄金周期间两条主路上临时交通管控措施的效果。
• 思路：
  • 前后对比分析：通过分析实施管控措施前后的车流量、平均速度、拥堵时长等指标，来评价管控效果。
  • 效果指标：可以采用交通流量变化、拥堵指数、车流速度变化等指标，结合数据进行定量分析。

接下来我们可以从问题 1 开始，详细讨论具体的模型和方法，你也可以告诉我更详细的数据情况或者你的疑问！

下面为各问题的详细思路

问题1

针对问题 1的建模任务，目的是根据车流量差异，将一天划分成若干个时段，并估算不同时段各个相位（包括四个方向直行、转弯）的车流量。以下是具体的数学建模思路：

1. 理解数据与问题背景

• 我们掌握的主要信息包括：
  • 各个相位方向的车辆信息（经中路北往南、经中路南往北、纬中路东往西、纬中路西往东）。
  • 拍摄的具体时间、车辆方向、车牌号（能识别同一车辆）。
  • 由于监控设备仅记录了车辆的通过方向，无法直接得知车辆是左转、右转还是直行。
• 任务要求我们根据这些数据，推断每个时段内各个相位的车流量，包括直行和转弯。

2. 时段划分模型

目标是将一天分成若干时段，不同时段的车流量差异较大。为实现这一目标，可以考虑以下方法：

• 数据预处理：

  • 将车辆通过监控的时间按小时或更细的时间粒度（如10分钟）进行统计，获得每个时间段内的车流量数据。
  • 对四个方向的车流进行初步分析，观察车流随时间的变化趋势。

• 聚类方法划分时段：
  使用K-means聚类或DBSCAN聚类等无监督学习算法，根据车流量的差异，将一天内的各个时间段进行分类，识别高峰时段和非高峰时段。

  • 特征变量：每个时间段的总车流量、各方向车流量、变化率。
  • 聚类目标：尽量将相似车流量的时间段划分为同一类，获得若干个不同的时段。

• 人工划分时段：
  结合经验和交通特性，将一天大致划分为：早高峰、平峰、晚高峰和夜间时段。可以通过历史数据验证或补充划分的合理性。

3. 车流量估算模型

由于监控设备只知道车辆的方向，但无法直接区分转弯和直行，因此需要建立模型估算各个相位的车流量。

• 相位车流量的拆分：
  需要区分每个方向的车辆是左转、右转还是直行。可以假设：

  • 转向概率模型：假设某一方向上有固定比例的车辆左转、右转和直行。这个概率可以基于历史数据估算，或者利用其他城市的交通规律进行初步设置。
  • 例如，假设北往南的车辆中，有 (p_{\text{left}}^{\text{NS}}) 比例的车是左转，(p_{\text{straight}}^{\text{NS}}) 比例的车是直行，(p_{\text{right}}^{\text{NS}}) 比例的车是右转。然后，根据观测到的总车流量，按照这些比例拆分为左转、直行和右转的车流量。

• 概率模型的参数估计：
  如果有历史数据，可以通过统计历史的转向比例来推断每个相位的左转、直行和右转的概率。如果没有，可以假设一些常见的转向比例，或采用贝叶斯方法结合实际数据进行估计。

• 车流量估算：
  对于每个时段和每个方向，估算出各个相位的车流量：

  • 假设在某个时段内，北往南方向有1000辆车经过，基于估计的转向概率，如果左转的概率是30%，则该时段内左转车流量为300辆，依此类推。

4. 模型验证

• 使用部分数据进行验证，检查模型预测的各个相位的车流量是否与实际情况接近。
• 如果有其他数据来源（如交通流监测数据或历史交通流数据），可以用这些数据进行交叉验证。
• 若没有直接的验证数据，可以通过对比各时段车流量的变化趋势，检查模型的合理性。

5. 模型扩展

• 如果有数据支持，还可以加入天气、节假日等外部因素，对车流量的变化进行修正。例如，节假日或特殊活动期间的车流量可能会显著增加，可以考虑这些特殊情况并调整模型参数。

6. 总结与输出

• 最终模型输出为不同时段内，各个方向（直行、左转、右转）的车流量估算结果。通过聚类或人工划分的方法，可以确定每天的时段划分，然后通过转向概率模型估算每个时段内的车流分布。

技术工具建议：

• 编程工具：Python或MATLAB都适合用于建模分析。Python中的scikit-learn可以用于聚类分析，pandas和numpy可进行数据处理。
• 数据可视化：使用matplotlib或seaborn绘制车流量随时间的变化图，以便更好地理解和展示结果。

这个思路可以帮助你解决问题 1，后续如果有更详细的数据或者模型实现的需求，我们可以继续讨论。

好的！我们将按照刚才讨论的思路，将问题 1 转化为具体的数学模型。这个模型的目标是对经中路-纬中路交叉口，基于车流量差异，划分时段并估算不同时段各个相位的车流量，包括直行、左转、右转。

模型 1：时段划分

1. 变量定义：

   • ( T = {t_1, t_2, \dots, t_n} )：一天中的多个时间段（单位可以是分钟或小时）。
   • ( C_{i}(t_j) )：在时间段 ( t_j ) 时，方向 ( i )（如北-南方向）的车流量， ( i \in {NS, SN, EW, WE} )。
   • ( \mathbf{C}(t_j) = [C_{\text{NS}}(t_j), C_{\text{SN}}(t_j), C_{\text{EW}}(t_j), C_{\text{WE}}(t_j)] )：在时段 ( t_j ) 时四个方向的车流量向量。

2. 聚类分析：

   • 目标：将一天内的所有时间段 ( t_j ) 划分为若干个时段 ( K )，使得每个时段内的车流量差异较小，时段间的车流量差异较大。

   • 使用 K-means 聚类方法：
     [
     \text{minimize} \sum_{k=1}^{K} \sum_{t_j \in \text{Cluster}_k} |\mathbf{C}(t_j) - \mathbf{\mu}_k|^2
     ]
     其中，( \mathbf{\mu}_k ) 是第 ( k ) 类（时段）内的车流量中心，( |\cdot| ) 是欧几里得距离，( \mathbf{C}(t_j) ) 是时间段 ( t_j ) 的车流量向量。

   • 输出：K个时段 ( {T_1, T_2, \dots, T_K} )，每个时段对应特定的车流量特征。

模型 2：相位车流量的拆分

1. 变量定义：

   • ( P_{d,\text{left}}^{(i)} )：方向 ( i )（如北-南）的车辆左转的概率。
   • ( P_{d,\text{straight}}^{(i)} )：方向 ( i ) 的车辆直行的概率。
   • ( P_{d,\text{right}}^{(i)} )：方向 ( i ) 的车辆右转的概率。
   • 满足 ( P_{d,\text{left}}^{(i)} + P_{d,\text{straight}}^{(i)} + P_{d,\text{right}}^{(i)} = 1 )。

2. 车流量估算：
   在时段 ( T_k ) 内，每个方向的总车流量为 ( C_i(T_k) )，根据转向概率模型，将该方向的车流量拆分为直行、左转和右转的车流量：
   [
   C_{i,\text{left}}(T_k) = P_{d,\text{left}}^{(i)} \cdot C_i(T_k)
   ]
   [
   C_{i,\text{straight}}(T_k) = P_{d,\text{straight}}^{(i)} \cdot C_i(T_k)
   ]
   [
   C_{i,\text{right}}(T_k) = P_{d,\text{right}}^{(i)} \cdot C_i(T_k)
   ]
   其中，( C_{i,\text{left}}(T_k), C_{i,\text{straight}}(T_k), C_{i,\text{right}}(T_k) ) 分别表示在时段 ( T_k ) 中，方向 ( i ) 的左转、直行和右转的车流量。

3. 转向概率的估计：

   • 如果没有直接数据，可以使用贝叶斯推断法根据其他城市的历史数据进行估计，或通过假设和区域交通专家的经验确定。
   • 对于方向 ( i )，转向概率的估计公式为：
     [
     P_{d,\text{left}}^{(i)} = \frac{\sum_{j=1}^{M} n_{\text{left}}^{(i,j)}}{\sum_{j=1}^{M} (n_{\text{left}}^{(i,j)} + n_{\text{straight}}^{(i,j)} + n_{\text{right}}^{(i,j)})}
     ]
     其中，( n_{\text{left}}^{(i,j)} ) 表示在历史数据 ( j ) 中方向 ( i ) 的左转车辆数，M是历史数据的数量。

模型 3：不同时段车流量估算

1. 车流量的总估算：
   在每个时段 ( T_k ) 内，每个方向的总车流量 ( C_i(T_k) ) 可以通过监控数据直接统计得到。

2. 不同时段车流量估算公式：
   在时段 ( T_k ) 内，每个方向的车流量（含转向和直行）可以用下面的公式表示：
   [
   \mathbf{C}{i}(T_k) = [C{i,\text{left}}(T_k), C_{i,\text{straight}}(T_k), C_{i,\text{right}}(T_k)]
   ]
   其中，每个元素表示该方向在时段 ( T_k ) 内的具体车流量。

3. 车流量在时间段内的变化：
   在不同时间段的总车流量可以通过监控数据得出，而模型拆分出具体的相位车流量，使得每个时间段的车流估计能覆盖左转、直行和右转的情况。

模型 4：模型验证与调整

1. 验证与调整：
   • 利用监控设备提供的额外数据进行验证，例如高峰期的车流量是否符合模型预测的情况。
   • 如果有部分交叉口或时段提供了实际的转向数据，则可以进一步调整转向概率 ( P_{d,\text{left}}^{(i)} )、( P_{d,\text{straight}}^{(i)} ) 和 ( P_{d,\text{right}}^{(i)} ) 。
   • 如果模型表现良好，可以对其他类似交叉口的交通流进行推广预测。

模型整体总结

• 时段划分模型：通过聚类分析，将一天划分为若干个时段，以捕捉车流量的动态变化。
• 车流拆分模型：建立转向概率模型，将每个方向的车流拆分为直行、左转和右转的车流。
• 车流量估算：通过监控数据和转向概率模型，估算不同时段内每个相位的车流量。
• 验证与调整：利用现有的历史数据或其他交叉口的数据进行模型验证，并调整模型参数。

通过以上模型，能够较为详细地估算出不同时段内各个方向的车流量，并区分出直行、左转和右转车流。这种模型既能反映实际交通流量的变化，又具备一定的扩展性，能够适应其他交叉口或时段的分析需求。

根据我们刚才讨论的数学模型，我将提供Python代码示例，具体展示如何实现问题1的时段划分、车流量的统计以及相位车流量的拆分。这个代码框架会包含以下几个部分：

1. 时段划分（使用K-means聚类）
2. 车流量估算（根据监控数据）
3. 相位车流拆分（基于转向概率）

1. 时段划分：K-means聚类

假设我们有监控数据的车流量统计，数据格式为：每个时段的车流量，包括各个方向的流量数据。

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import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.cluster import KMeans
import matplotlib.pyplot as plt

# 假设我们有一个包含不同时段车流量的数据集，格式如下
# 时间, NS方向车流量, SN方向车流量, EW方向车流量, WE方向车流量
data = pd.DataFrame({
    'time': ['08:00', '08:10', '08:20', '08:30', '08:40', '08:50'],
    'NS_flow': [200, 210, 220, 230, 240, 250],
    'SN_flow': [180, 190, 200, 210, 220, 230],
    'EW_flow': [150, 160, 170, 180, 190, 200],
    'WE_flow': [160, 170, 180, 190, 200, 210]
})

# 使用K-means算法对不同时段的车流量进行聚类分析
flows = data[['NS_flow', 'SN_flow', 'EW_flow', 'WE_flow']].values

# 使用K-Means进行聚类，假设将一天分成3类时段
kmeans = KMeans(n_clusters=3, random_state=0).fit(flows)

# 将聚类结果加入数据
data['cluster'] = kmeans.labels_

# 打印聚类结果
print(data)

# 可视化聚类结果
plt.scatter(data['time'], data['NS_flow'], c=data['cluster'])
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('NS Direction Flow')
plt.title('Traffic Flow Clustering')
plt.show()

在这个代码中，K-means算法根据每个时间段的车流量特征对一天进行了时段划分。我们可以通过改变n_clusters的值来设置分割的时段数。cluster 列会显示聚类所属的时段类别。

2. 车流量估算

接下来，我们根据时段内的车流量总量，估算各个方向的车流量（总流量）：

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# 假设我们已经划分出了不同时段，下面统计各个时段的车流量
# 将时间段分为早高峰、中间时段和晚高峰
time_periods = {'morning_peak': [0, 1], 'midday': [2, 3], 'evening_peak': [4, 5]}

def estimate_flow_by_period(data, period_name, period_indices):
    period_data = data.iloc[period_indices]
    total_flow = period_data[['NS_flow', 'SN_flow', 'EW_flow', 'WE_flow']].sum()
    print(f"{period_name} total flow:\n{total_flow}\n")
    
for period_name, indices in time_periods.items():
    estimate_flow_by_period(data, period_name, indices)

这个代码会根据我们划分的时段来统计每个时段的总车流量（每个方向的车流量合计）。

3. 相位车流量的拆分（根据转向概率）

在我们得到了每个时段和每个方向的车流量后，我们可以通过设定转向概率来估算每个方向的左转、直行和右转车流量。

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# 设定转向概率
turning_probabilities = {
    'NS': {'left': 0.3, 'straight': 0.6, 'right': 0.1},
    'SN': {'left': 0.2, 'straight': 0.7, 'right': 0.1},
    'EW': {'left': 0.25, 'straight': 0.65, 'right': 0.1},
    'WE': {'left': 0.35, 'straight': 0.5, 'right': 0.15}
}

# 根据车流量和转向概率，拆分不同相位的车流量
def estimate_phase_flow(direction, total_flow, probabilities):
    left_flow = total_flow * probabilities['left']
    straight_flow = total_flow * probabilities['straight']
    right_flow = total_flow * probabilities['right']
    return left_flow, straight_flow, right_flow

# 估算各个时段的车流量（按左转、直行、右转拆分）
def estimate_phase_flows_by_period(data, period_name, period_indices, turning_probabilities):
    period_data = data.iloc[period_indices]
    
    for direction in ['NS', 'SN', 'EW', 'WE']:
        total_flow = period_data[f'{direction}_flow'].sum()
        left_flow, straight_flow, right_flow = estimate_phase_flow(direction, total_flow, turning_probabilities[direction])
        
        print(f"{period_name} - {direction} direction:")
        print(f"Left turn flow: {left_flow}")
        print(f"Straight flow: {straight_flow}")
        print(f"Right turn flow: {right_flow}\n")

for period_name, indices in time_periods.items():
    estimate_phase_flows_by_period(data, period_name, indices, turning_probabilities)

在这个部分，我们通过预设的转向概率，将每个方向的总车流量拆分为左转、直行和右转的流量。estimate_phase_flow 函数用于计算各个转向车流量。

4. 模型验证

我们可以通过将部分真实数据与模型计算结果进行对比，评估模型的准确性。如果有额外的验证数据，可以在此处加入模型验证逻辑。

结果展示

1. 通过K-means聚类算法，我们将一天中的时段划分为多个类别。
2. 对每个时段的车流量进行了估算。
3. 基于转向概率模型，拆分了相位（左转、直行、右转）的车流量。

这个代码框架可以帮助你实现问题1中的时段划分和车流量估算。当然，根据实际数据的复杂性，可以对代码做出适应性调整，例如使用更复杂的统计方法或优化模型。

#问题2

问题 2：根据所给数据和上述模型，对经中路和纬中路上所有交叉口的信号灯进行优化配置，在保证车辆通行的前提下，使得两条主路上的车流平均速度最大。

问题 2 的目标是对经中路和纬中路的信号灯进行优化，以最大化车流的平均速度。这个问题涉及交通信号灯的优化、车流建模和交通流量的动态变化。在解决问题时，我们需要考虑以下几方面的因素：

问题分析

1. 信号灯优化的核心目标：

   • 使得两条主路上的车流平均速度最大化。
   • 在保证车辆通行顺畅的前提下，减少等待时间。

2. 限制条件：

   • 每个交叉口的车流量和方向不同。
   • 信号灯的配时需要考虑直行、左转和右转等不同的相位。
   • 交通信号灯的周期设计要考虑高峰时段和非高峰时段。

3. 优化策略：

   • 优化信号灯的周期和绿灯时长分配。
   • 优化每个方向的相位顺序和相位时间分配。

具体数学建模思路

1. 车流模型的构建

我们需要建立一个交通流模型来描述车辆通过交叉口的动态：

• 车流量表示：

  • 设某一个方向 ( i ) 的车流量为 ( q_i )（单位：辆/小时），其通过交叉口的平均速度为 ( v_i )。
  • 车辆排队长度 ( l_i ) 受信号灯配时的影响，通过时间、相位时间等决定。

• 信号周期：

  • 假设信号灯周期为 ( T ) 秒，周期由不同方向的绿灯时长组成：
    • ( G_{\text{NS}} )：经中路北往南和南往北的绿灯时长。
    • ( G_{\text{EW}} )：纬中路东往西和西往东的绿灯时长。
    • 黄灯和全红灯时长可以分别设为 ( Y ) 和 ( R )。

• 平均速度：

  • 对于某一条主路（如经中路），车流平均速度 ( v_{\text{avg}} ) 可以定义为：
    [
    v_{\text{avg}} = \frac{d_{\text{route}}}{t_{\text{total}}}
    ]
    其中，( d_{\text{route}} ) 是车辆行驶的距离，( t_{\text{total}} ) 是车辆行驶的总时间，包括等待时间和行驶时间。

• 等待时间：

  • 设一个方向的等待时间为 ( w_i )，可以根据信号灯的红绿灯时间、车流量和通行速度进行估算。
  • 假设 ( n_i ) 为方向 ( i ) 的车辆数，信号灯周期 ( T ) 内的通过车辆数与车流量 ( q_i ) 相关。

2. 信号灯配时模型

我们需要优化各个方向的绿灯时长 ( G_i ) 和信号灯周期 ( T )，使得车流平均速度最大化。这个问题可以转化为一个优化问题：

• 目标函数：
  我们的目标是最大化经中路和纬中路的车流平均速度 ( v_{\text{avg}} )。这个平均速度可以表示为两条主路上各自平均速度的加权和：
  [
  v_{\text{avg}} = \alpha v_{\text{NS}} + \beta v_{\text{EW}}
  ]
  其中 ( v_{\text{NS}} ) 和 ( v_{\text{EW}} ) 分别是经中路和纬中路上的平均车流速度，( \alpha ) 和 ( \beta ) 是权重，通常可以设定为两条路上车流量的比例。

• 约束条件：

  1. 信号灯周期限制：信号灯的总周期为 ( T )，即：
     [
     G_{\text{NS}} + G_{\text{EW}} + Y + R = T
     ]

  2. 每个方向的车流量通行限制：每个方向的车流量必须在绿灯时段内得到有效疏导，通行车辆数量不能超过车道容量。

  3. 绿灯时长比例：绿灯时长的分配应与车流量成正比，即较大的车流量应分配更多的绿灯时长。可以通过调整绿灯时间的比例来平衡车流：
     [
     \frac{G_{\text{NS}}}{G_{\text{EW}}} \approx \frac{q_{\text{NS}}}{q_{\text{EW}}}
     ]

  4. 车辆排队模型：假设每个方向的车辆会排队，排队长度 ( l_i ) 受信号灯周期、车道容量、车流量等因素影响。使用排队论（如M/M/1模型）估算各个方向车辆的排队时间，并限制排队长度不超过一定值。

3. 优化算法

为了解决这个优化问题，可以使用以下几种方法：

1. 遗传算法：

   • 遗传算法适合解决复杂的非线性优化问题。可以将信号灯周期、绿灯时间等作为待优化变量，通过遗传算法搜索最优解。
   • 编码方式：将绿灯时长和周期 ( G_{\text{NS}}, G_{\text{EW}}, T ) 作为个体的基因，设计交叉、变异等操作。
   • 适应度函数：平均速度 ( v_{\text{avg}} ) 作为适应度函数，最大化该函数值。

2. 粒子群算法：

   • 粒子群算法是一种全局优化算法，适用于信号灯配时优化问题。
   • 粒子表示一个候选解（包括绿灯时长和信号周期），通过迭代搜索最优解。

3. 线性规划：

   • 如果问题条件较为简单，可以尝试将信号灯的优化问题转化为线性规划问题。目标函数是最大化车流平均速度，约束条件包括信号周期限制、车流通行限制等。

4. 仿真模型

在优化信号灯的过程中，可以使用交通仿真工具（如VISSIM或SUMO）来模拟不同信号灯配时下的交通流动情况。

• 输入数据：根据给定的车流量数据，输入到仿真软件中，设置交叉口的信号灯时长和周期。
• 输出结果：仿真工具可以输出各个方向的平均速度、等待时间、车辆排队长度等数据，通过比较不同配置下的结果，选择最优的信号灯配时方案。

总结

模型的步骤总结：

1. 构建车流量模型：描述各个方向的车流量、排队长度和通行速度，考虑不同相位的车辆通行情况。
2. 设计信号灯配时模型：将信号灯的周期、绿灯时长作为待优化变量，构建目标函数（最大化车流平均速度）和约束条件。
3. 优化算法选择：可以选择遗传算法、粒子群算法等全局优化算法，或通过线性规划方法求解。
4. 仿真模拟：通过交通仿真软件对不同的信号灯配置进行模拟验证，进一步优化模型。

该模型的关键在于信号灯周期和绿灯时长的优化，这需要结合具体的数据和交通流量模型进行动态调整。

针对问题2的信号灯优化配置，我们将根据车流量、信号周期和相位时间设计一个数学模型，目标是最大化两条主路上的车流平均速度。这个模型将综合考虑交通信号灯的绿灯时长、车流量和平均速度之间的关系。以下是详细的模型构建过程。

1. 变量定义

1.1. 交叉口和相位定义

考虑两个主要道路交叉口（经中路和纬中路），每个交叉口有四个相位：

• NS：北往南方向的车流。
• SN：南往北方向的车流。
• EW：东往西方向的车流。
• WE：西往东方向的车流。

1.2. 信号灯时长

• ( T )：信号灯周期（单位：秒），包括所有相位的绿灯时长、黄灯时长和红灯时长。
• ( G_{\text{NS}} )：北往南（NS方向）的绿灯时长（秒）。
• ( G_{\text{SN}} )：南往北（SN方向）的绿灯时长（秒）。
• ( G_{\text{EW}} )：东往西（EW方向）的绿灯时长（秒）。
• ( G_{\text{WE}} )：西往东（WE方向）的绿灯时长（秒）。
• ( Y )：黄灯时长（秒），通常为每个相位的固定时长。
• ( R )：全红灯时长（秒），用于所有方向。

信号灯周期的总时长：
[
T = G_{\text{NS}} + G_{\text{SN}} + G_{\text{EW}} + G_{\text{WE}} + Y + R
]

1.3. 车流量和通行能力

• ( q_i )：相位 ( i ) 的车流量（辆/小时），其中 ( i \in {\text{NS}, \text{SN}, \text{EW}, \text{WE}} )。
• ( C_i )：相位 ( i ) 的通行能力（即在绿灯时长内能够通过的车辆数，单位为辆/秒）。
  • ( C_i ) 可以用下式表示：
    [
    C_i = w_i \cdot v_i
    ]
    其中，( w_i ) 是相位 ( i ) 的车道宽度（辆/秒），( v_i ) 是车辆通过交叉口的速度（秒）。

1.4. 车辆等待时间和通行时间

• ( w_i )：相位 ( i ) 的平均等待时间（秒）。
• ( t_i )：相位 ( i ) 的车辆通行时间（秒），包括绿灯通过时间和等待时间。

2. 目标函数

2.1. 平均速度

我们希望优化信号灯时长配置，使得两条主路上的车流平均速度最大。对于每条路的平均速度，可以表示为：
[
v_{\text{avg}} = \frac{\sum_{i} d_i}{\sum_{i} t_i}
]
其中，( d_i ) 是车辆在相位 ( i ) 上的行驶距离，( t_i ) 是相位 ( i ) 的通行总时间，等于等待时间加通行时间。

2.2. 优化目标

我们优化的目标是最大化两条主路上的车流平均速度。因此，目标函数为：
[
\text{maximize} \quad v_{\text{avg}} = \alpha \frac{\sum_{i \in {\text{NS}, \text{SN}}} d_i}{\sum_{i \in {\text{NS}, \text{SN}}} t_i} + \beta \frac{\sum_{i \in {\text{EW}, \text{WE}}} d_i}{\sum_{i \in {\text{EW}, \text{WE}}} t_i}
]
其中，( \alpha ) 和 ( \beta ) 是经中路和纬中路的车流量权重，可以根据交通需求设定。

3. 约束条件

3.1. 信号灯周期限制

信号灯的总周期 ( T ) 由各相位的绿灯时长和黄灯、红灯时长构成：
[
G_{\text{NS}} + G_{\text{SN}} + G_{\text{EW}} + G_{\text{WE}} + Y + R = T
]
其中 ( Y ) 和 ( R ) 是固定值或设定值（通常为每个周期10到15秒左右）。

3.2. 车流量通过约束

在每个绿灯时长内，相位 ( i ) 的通行能力 ( C_i ) 应能满足车流量需求，防止拥堵积累。具体约束为：
[
q_i \leq C_i \cdot G_i
]
即，相位 ( i ) 的车流量 ( q_i ) 应小于或等于绿灯时长 ( G_i ) 乘以通行能力 ( C_i )。

3.3. 平衡各方向绿灯时长

绿灯时长的分配应与车流量成正比。可以通过以下约束来保持绿灯时长和车流量的平衡：
[
\frac{G_{\text{NS}} + G_{\text{SN}}}{G_{\text{EW}} + G_{\text{WE}}} \approx \frac{q_{\text{NS}} + q_{\text{SN}}}{q_{\text{EW}} + q_{\text{WE}}}
]
即，经中路和纬中路的总绿灯时长比例应与两条主路上的车流量比例大致相等。

4. 模型的进一步细化

4.1. 车辆排队模型

为了避免车辆在红灯期间积累较多排队，可以使用排队论中的M/M/1模型来估算每个方向的车辆排队长度和等待时间。

• 假设相位 ( i ) 上车辆的到达率为 ( \lambda_i )，服务率为 ( \mu_i )，则车辆的平均排队长度 ( L_i ) 和平均等待时间 ( w_i ) 可以用下式表示：
  [
  L_i = \frac{\lambda_i^2}{\mu_i (\mu_i - \lambda_i)}
  ]
  [
  w_i = \frac{L_i}{\lambda_i}
  ]
  在优化模型中，排队长度 ( L_i ) 不能超过某个阈值 ( L_{\text{max}} )，即：
  [
  L_i \leq L_{\text{max}}
  ]

4.2. 等待时间约束

为了保证车辆的通行效率，设置一个最大等待时间限制 ( w_{\text{max}} )，即每个方向的平均等待时间不能超过 ( w_{\text{max}} )，具体约束为：
[
w_i \leq w_{\text{max}}
]

5. 模型的优化方法

• 通过上述约束条件，我们可以将问题转化为一个非线性规划问题：
  [
  \text{maximize} \quad v_{\text{avg}} = \alpha \frac{\sum_{i \in {\text{NS}, \text{SN}}} d_i}{\sum_{i \in {\text{NS}, \text{SN}}} t_i} + \beta \frac{\sum_{i \in {\text{EW}, \text{WE}}} d_i}{\sum_{i \in {\text{EW}, \text{WE}}} t_i}
  ]
  subject to:
  [
  G_{\text{NS}} + G_{\text{SN}} + G_{\text{EW}} + G_{\text{WE}} + Y + R = T
  ]
  [
  q_i \leq C_i \cdot G_i, \quad i \in {\text{NS}, \text{SN}, \text{EW}, \text{WE}}
  ]
  [
  \frac{G_{\text{NS}} + G_{\text{SN}}}{G_{\text{EW}} + G_{\text{WE}}} \approx \frac{q_{\text{NS}} + q_{\text{SN}}}{q_{\text{EW}} + q_{\text{WE}}}
  ]
  [
  L_i \leq L_{\text{max}}, \quad w_i \leq w_{\text{max}}
  ]

6. 优化算法

该模型可以使用以下方法进行优化：

• 遗传算法（Genetic Algorithm, GA）：适合求解复杂的非线性优化问题，逐步迭代找到最优的绿灯时长配置。
• **粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization,

基于问题 2 中的数学模型，我们可以编写一个优化信号灯配时的 Python 代码。为了简化计算，我们采用 遗传算法（Genetic Algorithm, GA）作为优化算法，目的是最大化车流平均速度，同时满足各类约束条件。

Python代码实现

1. 安装所需的库

我们需要使用 numpy 和 DEAP 库来实现遗传算法。首先，请确保安装了这些库：

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pip install numpy deap

2. Python代码

下面是实现信号灯配时优化的具体代码。该代码使用遗传算法来优化信号灯周期中的各个绿灯时长，以最大化车流平均速度。

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import numpy as np
from deap import base, creator, tools, algorithms

# 定义参数
T = 120  # 信号灯周期（秒）
Y = 5    # 黄灯时长（秒）
R = 5    # 红灯时长（秒）
total_lanes = 4  # 假设所有方向的车道数量相同

# 车流量 (单位: 辆/小时)，根据问题背景设置
q_NS = 1000  # 北往南方向车流量
q_SN = 900   # 南往北方向车流量
q_EW = 800   # 东往西方向车流量
q_WE = 850   # 西往东方向车流量

# 各个方向的通行能力（辆/秒）
C_NS = 0.5
C_SN = 0.5
C_EW = 0.4
C_WE = 0.4

# 创建优化问题的目标函数（最大化平均速度）
def avg_speed(individual):
    G_NS, G_SN, G_EW, G_WE = individual  # 绿灯时长
    
    # 计算每个方向的通行车辆数量（单位：辆/小时）
    vehicles_NS = C_NS * G_NS * 3600 / T  # 3600秒换算为小时
    vehicles_SN = C_SN * G_SN * 3600 / T
    vehicles_EW = C_EW * G_EW * 3600 / T
    vehicles_WE = C_WE * G_WE * 3600 / T
    
    # 计算每个方向的平均速度
    avg_speed_NS = min(vehicles_NS / q_NS, 1)  # 确保速度不超过最大
    avg_speed_SN = min(vehicles_SN / q_SN, 1)
    avg_speed_EW = min(vehicles_EW / q_EW, 1)
    avg_speed_WE = min(vehicles_WE / q_WE, 1)
    
    # 综合速度（加权平均）
    total_flow_NS_SN = q_NS + q_SN
    total_flow_EW_WE = q_EW + q_WE
    
    speed_NS_SN = (avg_speed_NS * q_NS + avg_speed_SN * q_SN) / total_flow_NS_SN
    speed_EW_WE = (avg_speed_EW * q_EW + avg_speed_WE * q_WE) / total_flow_EW_WE
    
    # 目标是最大化两条主路的车流平均速度，加权值可以根据需要调整
    avg_speed_total = 0.5 * speed_NS_SN + 0.5 * speed_EW_WE
    return avg_speed_total,

# 设置遗传算法参数
creator.create("FitnessMax", base.Fitness, weights=(1.0,))  # 最大化问题
creator.create("Individual", list, fitness=creator.FitnessMax)

toolbox = base.Toolbox()
toolbox.register("attr_int", np.random.randint, 10, T//2)  # 生成每个绿灯时长的随机数
toolbox.register("individual", tools.initCycle, creator.Individual, 
                 (toolbox.attr_int, toolbox.attr_int, toolbox.attr_int, toolbox.attr_int), n=1)
toolbox.register("population", tools.initRepeat, list, toolbox.individual)

# 注册进化操作
toolbox.register("mate", tools.cxTwoPoint)  # 交叉操作
toolbox.register("mutate", tools.mutUniformInt, low=10, up=T//2, indpb=0.2)  # 变异
toolbox.register("select", tools.selTournament, tournsize=3)  # 选择策略
toolbox.register("evaluate", avg_speed)

# 添加约束条件
def valid_individual(individual):
    G_NS, G_SN, G_EW, G_WE = individual
    return (G_NS + G_SN + G_EW + G_WE + Y + R) <= T  # 信号灯周期总时长限制

toolbox.decorate("evaluate", tools.DeltaPenalty(valid_individual, 0))

# 遗传算法参数
population = toolbox.population(n=100)  # 种群大小
NGEN = 50  # 迭代次数
CXPB, MUTPB = 0.5, 0.2  # 交叉率与变异率

# 运行遗传算法
algorithms.eaSimple(population, toolbox, cxpb=CXPB, mutpb=MUTPB, ngen=NGEN, 
                    stats=None, halloffame=None, verbose=True)

# 输出最优结果
best_individual = tools.selBest(population, 1)[0]
print(f"最优绿灯时长配置为: NS方向: {best_individual[0]}秒, SN方向: {best_individual[1]}秒, EW方向: {best_individual[2]}秒, WE方向: {best_individual[3]}秒")

# 输出对应的目标函数值
print(f"最优平均速度为: {avg_speed(best_individual)[0]}")

3. 代码说明

• **目标函数avg_speed**：根据信号灯绿灯时长计算每个方向的车流量，结合车流速度，计算出经中路和纬中路的加权平均速度。
• 信号灯周期约束：通过约束函数 valid_individual 确保各个方向的绿灯时长和信号周期符合总周期限制 ( T )。
• 遗传算法设置：使用了DEAP库的遗传算法进行优化，设置了种群大小、交叉率和变异率。
• 输出：程序输出最优的绿灯时长配置，并给出对应的车流平均速度。

4. 运行流程

1. 定义参数：调整信号灯周期 ( T )、黄灯时长 ( Y )、红灯时长 ( R ) 以及车流量参数。
2. 运行遗传算法：通过进化操作寻找最优的绿灯时长配置，使得车流平均速度最大。
3. 输出结果：代码会输出最优的绿灯时长配置和最大化的车流平均速度。

5. 进一步改进

1. 动态车流量：可以将车流量设置为时变量，例如高峰期和非高峰期的车流量不同。
2. 加入额外约束：如加入车辆排队长度的约束，避免在红灯时段过长时车辆过度排队。
3. 使用交通仿真软件验证：优化后，可以将配置方案输入交通仿真软件（如VISSIM或SUMO）验证信号灯优化效果。

通过上述模型和代码，可以实现信号灯优化配置，最大化车流的平均速度。

#问题3

问题 3：对五一黄金周期间的数据进行分析，判定寻找停车位的巡游车辆，并估算假期景区需要临时征用多少停车位才能满足需求。

问题分析

该问题的主要目标是通过分析五一黄金周期间的交通数据，识别那些在寻找停车位的巡游车辆，并估算出景区临时停车位的需求量。

1. 关键问题

• 巡游车辆的判定：需要通过交通监控数据判定哪些车辆是在寻找停车位，并区分这些车辆与正常通过的车辆。
• 停车位需求估算：根据巡游车辆的数量和车辆停留时间等因素，估算假期期间景区周围的停车位需求。

2. 数据分析基础

• 输入数据：假设我们有车牌号、车辆行驶的路径、车辆通过不同监控设备的时间等数据。
  • 数据字段可能包括：车牌号、时间戳、车辆行驶方向、通过的监控位置等。
• 问题背景：景区附近的车辆常因寻找停车位而低速绕行，这意味着某些车辆会多次经过相同的路段或在特定区域内重复出现。

数学建模思路

1. 巡游车辆的判定

判定哪些车辆是在寻找停车位，通常可以通过分析以下行为特征：

1. 车辆重复经过相同路段：

   • 路径相似性：如果一辆车在短时间内多次经过相同的监控设备或相似的路段，可能意味着该车在寻找停车位。
   • 模型构建：设车牌号为 ( c )，在时间段 ( t_1, t_2, \dots, t_n ) 时通过同一个监控点 ( p ) 的次数为 ( n_p(c) )。如果 ( n_p(c) \geq k )（设定的阈值，如2次或以上），则判断该车辆有巡游停车的行为。

2. 车辆低速行驶：

   • 速度判断：寻找停车位的车辆通常以较低的速度行驶。通过对车辆在不同监控点之间的行驶速度进行分析，可以识别低速巡游的车辆。
   • 速度公式：假设监控点 ( p_1 ) 和 ( p_2 ) 之间的距离为 ( d_{p_1 p_2} )，车辆 ( c ) 在时间 ( t_1 ) 和 ( t_2 ) 分别通过两个监控点，则行驶速度为：
     [
     v(c) = \frac{d_{p_1 p_2}}{t_2 - t_1}
     ]
     如果车辆 ( v(c) ) 的速度小于某个阈值 ( v_{\text{low}} )，则判断车辆可能在低速巡游寻找停车位。

3. 滞留时间：

   • 停留分析：如果某辆车在某一小范围内的停留时间较长（在某个特定区域内反复出现），可能也是寻找停车位的行为。
   • 模型构建：设车辆 ( c ) 在区域 ( A ) 中通过多个监控点的时间为 ( t_{\text{start}} ) 到 ( t_{\text{end}} )，如果 ( t_{\text{end}} - t_{\text{start}} \geq T_{\text{max}} )（超过合理通过时间），则该车辆可能在寻找停车位。

2. 停车位需求估算模型

通过巡游车辆的识别，我们可以进一步估算假期期间景区的停车位需求。

1. 巡游车辆的总量估算：

   • 根据前面识别的巡游车辆数 ( N_{\text{巡游}} )，假设每辆巡游车辆最后找到停车位的概率为 ( p_{\text{park}} )，则需要的停车位数量为：
     [
     N_{\text{停车位}} = N_{\text{巡游}} \times p_{\text{park}}
     ]
   • ( p_{\text{park}} ) 可以根据历史数据或经验值来确定。

2. 车辆停留时间：

   • 车辆的停车需求不仅与巡游车辆数有关，还与车辆的停留时间 ( t_{\text{stay}} ) 有关。通常假期期间，景区内车辆的平均停留时间较长。
   • 假设平均停车时间为 ( t_{\text{stay}} )，停车位的总周转率为：
     [
     R_{\text{停车位}} = \frac{1}{t_{\text{stay}}}
     ]
   • 如果假期期间总有 ( N_{\text{巡游}} ) 辆巡游车辆，每辆车最终找到停车位并停留 ( t_{\text{stay}} ) 时间，则每天所需的停车位数为：
     [
     N_{\text{停车位日}} = \frac{N_{\text{巡游}} \times p_{\text{park}}}{R_{\text{停车位}}}
     ]

3. 时间维度的停车位需求：

   • 在一天的不同时段，巡游车辆的数量可能不同，早上、中午和傍晚的停车需求会有所不同。可以通过时段划分的方法估算不同时段的停车位需求：
     [
     N_{\text{停车位}}(t) = N_{\text{巡游}}(t) \times p_{\text{park}}(t)
     ]
     其中，( t ) 表示一天中的不同时段，( N_{\text{巡游}}(t) ) 表示该时段的巡游车辆数量。

3. 模型的进一步细化

1. 历史数据的利用：

   • 可以根据历史假期的数据，分析停车位的需求峰值。结合历史停车位需求的时间分布，调整假期期间的停车位征用量。

2. 景区流量变化的考虑：

   • 根据景区的游客流量峰值时间，分析哪些时段的停车需求较大，优化停车位的动态配置，避免在某些时段停车位不足。

3. 外部因素：

   • 假设节假日期间交通管制、停车引导措施等对停车位需求的影响，通过这些措施可以减少停车位需求，例如提供临时停车场、加强交通引导等。

4. 数学模型总结

1. 巡游车辆识别模型：

   • 通过分析重复经过同一路段、低速行驶和区域滞留时间等特征，识别巡游车辆。
   • 建立车辆路径的相似性模型，定义阈值来判断重复经过的情况。
   • 根据车辆在不同监控点之间的行驶速度，判断是否处于低速巡游状态。

2. 停车位需求估算模型：

   • 根据巡游车辆的数量和停车概率估算停车位需求。
   • 结合停车周转率和车辆停留时间，估算全天的停车位需求。
   • 考虑不同时间段的停车位需求，动态调整停车位的分布。

这个建模思路涵盖了从巡游车辆判定到停车位需求估算的全过程。接下来可以根据具体的监控数据和实际情况，进一步细化模型的参数，并编写相应的算法来实现。

为了详细构建问题3中的数学模型，我们将根据上面的思路，具体建立模型。以下是模型的详细步骤和数学描述。

1. 数据预处理

假设我们有以下数据集：

• ( D = {(t_i, p_i, l_i, d_i)} )，其中 ( t_i ) 表示车辆 ( i ) 的时间戳，( p_i ) 表示车辆 ( i ) 的车牌号，( l_i ) 表示车辆 ( i ) 的位置（即道路或交叉口的编号），( d_i ) 表示车辆 ( i ) 的行驶方向（如东-西、西-东等）。

通过这些数据，我们可以提取出车辆的轨迹、行驶时间以及重复出现的情况。

2. 巡游车辆的识别模型

巡游车辆定义为在一段时间内反复出现在同一区域或低速行驶的车辆。

2.1 时间窗口定义

假设我们设定一个时间窗口 ( \Delta T )，以30分钟为例，即 ( \Delta T = 30 ) 分钟。

对于每辆车 ( i )，在 ( [t_i, t_i + \Delta T] ) 时间段内，我们观察该车在某个区域是否多次出现：

• 设车辆 ( i ) 在时间 ( t ) 和地点 ( l ) 经过一次，之后在 ( [t, t + \Delta T] ) 的时间段内，若它再次出现在相同地点 ( l )，则定义该车为巡游车辆。

具体数学表达式为：
[
\text{如果} \sum_{j} \mathbf{1}(p_j = p_i \text{ 且 } l_j = l_i \text{ 且 } t_j \in [t_i, t_i + \Delta T]) > 1
]
则认定该车 ( i ) 为巡游车辆。

其中 ( \mathbf{1}(\cdot) ) 是指示函数，当条件成立时为1，否则为0。

2.2 行驶速度定义

对于车辆 ( i )，我们可以通过其在不同位置的时间间隔计算速度。若车辆在某段时间内的平均速度低于某个阈值 ( v_{\text{threshold}} )，则可能表明其为巡游车辆。

车辆 ( i ) 在时间 ( t_1 ) 和位置 ( l_1 ) 与时间 ( t_2 ) 和位置 ( l_2 ) 之间的速度 ( v_i ) 计算为：
[
v_i = \frac{\text{距离}(l_1, l_2)}{t_2 - t_1}
]
若 ( v_i \leq v_{\text{threshold}} )，则车辆 ( i ) 被进一步标记为巡游车辆。

3. 停车需求估算模型

3.1 巡游时间计算

对于每辆被判定为巡游车辆的车辆 ( i )，我们可以计算其在路上寻找停车位的总时间 ( T_i )。设该车在 ( t_{\text{start}} ) 开始巡游，在 ( t_{\text{end}} ) 结束巡游，则其巡游时间为：
[
T_i = t_{\text{end}} - t_{\text{start}}
]
我们可以统计所有巡游车辆的总巡游时间，设总的巡游时间为：
[
T_{\text{total}} = \sum_{i=1}^{n} T_i
]
其中 ( n ) 是巡游车辆的总数。

3.2 巡游车辆数量估算

在特定时间段 ( [t_a, t_b] ) 内，我们可以计算巡游车辆的数量 ( N(t) )，这个值可以随着时间变化。因此，我们可以定义巡游车辆数量的时间序列为：
[
N(t) = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}(t_{\text{start}, i} \leq t \leq t_{\text{end}, i})
]
这表示在时刻 ( t ) 巡游的车辆数量。

3.3 需求峰值估算

停车需求的关键在于识别高峰时段。我们可以通过找到停车需求的峰值时段，即：
[
N_{\text{peak}} = \max_{t_a \leq t \leq t_b} N(t)
]
这里的 ( N_{\text{peak}} ) 是某段时间内巡游车辆的最大数量。

3.4 现有停车位与需求差

假设景区现有停车位的数量为 ( P_{\text{existing}} )，停车需求峰值为 ( N_{\text{peak}} )。停车位的供需差可以表示为：
[
\Delta P = N_{\text{peak}} - P_{\text{existing}}
]
若 ( \Delta P > 0 )，则需要增加临时停车位。临时停车位需求可以定义为：
[
P_{\text{temporary}} = \max(0, \Delta P)
]
即当供需差为正时，临时停车位需求为 ( P_{\text{temporary}} )。

4. 临时停车位需求的预测

我们可以通过分析历史数据来预测未来需求。基于假期期间巡游车辆数量的变化，可以建立时间序列预测模型，如ARIMA模型，用于预测未来时段的巡游车辆数量。

假设我们要预测五一黄金周期间停车需求，可以建立模型：
[
\hat{N}(t) = f(N(t-1), N(t-2), \dots)
]
然后根据预测的巡游车辆峰值，计算临时停车位需求。

5. 结果分析

最终，模型的输出为：

1. 每个时段的巡游车辆数量 ( N(t) )。
2. 高峰时段的停车位供需差 ( \Delta P )。
3. 需要临时增加的停车位数量 ( P_{\text{temporary}} )。

这些结果可以用来指导景区在假期期间的停车位配置。

模型总结

• 数据预处理：提取车辆轨迹数据，分析每辆车的行为特征。
• 巡游车辆判定：基于重复出现、低速行驶等特征判断是否为巡游车辆。
• 停车需求估算：根据巡游车辆的数量和行驶时间，估算停车需求，识别停车需求峰值。
• 停车位需求模型：通过计算现有停车位与需求的差异，估算临时停车位需求。

这个模型的关键在于准确识别巡游车辆，并且通过供需差计算临时停车位需求。希望这能为你的建模提供帮助，如果有任何细节需要进一步讨论，请随时联系我！

为了帮助你实现这个模型，下面是对应的Python代码实现。假设你已经有相关的数据文件（包括车辆的时间、地点、车牌号等信息），可以按照以下步骤构建模型。

1. 导入必要的库

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import pandas as pd
import numpy as np
from datetime import datetime, timedelta
import matplotlib.pyplot as plt

# 如果需要聚类或者时间序列分析，也可以导入相关的库
from sklearn.cluster import KMeans
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA

2. 数据预处理

假设数据包含四个主要字段：

• timestamp: 车辆的时间戳
• vehicle_id: 车辆的车牌号
• location: 车辆的位置
• direction: 车辆的行驶方向

将数据读入Pandas DataFrame：

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# 读取数据
data = pd.read_csv('vehicle_data.csv')

# 确保timestamp为datetime类型
data['timestamp'] = pd.to_datetime(data['timestamp'])

3. 巡游车辆识别模型

定义巡游车辆判定的时间窗口 ( \Delta T ) 和速度阈值 ( v_{\text{threshold}} )，我们可以基于车牌号和时间来识别巡游车辆。

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# 定义时间窗口
delta_T = timedelta(minutes=30)
v_threshold = 20  # 定义低速行驶的阈值（km/h）

# 初始化一个标记列，标记车辆是否为巡游车辆
data['is_cruising'] = False

# 按照车辆ID分组，分析每辆车的轨迹
vehicle_groups = data.groupby('vehicle_id')

def detect_cruising(group):
    group = group.sort_values('timestamp')
    # 计算时间间隔
    group['time_diff'] = group['timestamp'].diff()
    
    # 判断车辆在 delta_T 时间内是否反复出现
    repeated_visits = (group['time_diff'] <= delta_T).sum() > 1
    
    # 进一步分析速度（此处假设有经纬度或距离数据，计算两点间的速度）
    group['speed'] = group['location'].diff() / group['time_diff'].dt.total_seconds() * 3600  # km/h
    low_speed = (group['speed'] <= v_threshold).any()

    if repeated_visits and low_speed:
        group['is_cruising'] = True
    
    return group

# 对每辆车进行巡游判定
data = vehicle_groups.apply(detect_cruising)

4. 计算巡游车辆的停车需求

在识别出巡游车辆后，我们可以根据每辆巡游车辆的停留时间以及高峰时段的巡游车辆数量来估算停车需求。

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# 过滤出巡游车辆
cruising_data = data[data['is_cruising']]

# 计算每辆车的巡游时间
cruising_data['cruising_duration'] = cruising_data.groupby('vehicle_id')['timestamp'].transform(lambda x: x.max() - x.min())

# 统计巡游车辆数量的时间序列
cruising_count = cruising_data.groupby(cruising_data['timestamp'].dt.floor('H')).size()

# 找到停车需求的峰值时段
peak_demand = cruising_count.max()
peak_time = cruising_count.idxmax()

print(f"巡游车辆高峰期为: {peak_time}, 高峰时段的巡游车辆数量为: {peak_demand}")

# 假设现有停车位数量
P_existing = 100  # 假设现有停车位数量

# 计算临时停车位需求
P_temporary = max(0, peak_demand - P_existing)
print(f"所需临时停车位: {P_temporary}")

5. 时间序列预测

我们可以基于巡游车辆的历史数据进行时间序列分析，预测未来的停车需求，使用ARIMA模型作为预测工具。

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from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA

# 准备数据进行时间序列分析
cruising_count = cruising_count.asfreq('H')

# 拟合ARIMA模型
model = ARIMA(cruising_count, order=(5, 1, 0))
model_fit = model.fit()

# 预测未来停车需求
forecast = model_fit.forecast(steps=24)  # 预测未来24小时的停车需求
print(f"未来24小时的停车需求预测: \n{forecast}")

# 可视化预测结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(cruising_count.index, cruising_count, label='历史巡游车辆数量')
plt.plot(forecast.index, forecast, label='预测巡游车辆数量', linestyle='--')
plt.axhline(y=P_existing, color='r', linestyle=':', label='现有停车位数量')
plt.legend()
plt.show()

6. 总结

• 通过识别车辆是否为巡游车辆（基于重复出现和低速行驶特征），我们可以统计出巡游车辆的数量。
• 计算停车需求高峰时段，通过供需差异得出临时停车位需求。
• 使用ARIMA模型对未来停车需求进行时间序列预测。

模型拓展

1. 数据增强：可以将其他特征（如车辆的具体行驶路线、停车场的实时占用情况）加入模型，进一步提高预测精度。
2. 仿真优化：使用排队论模型进一步分析停车场的使用情况，优化停车资源分配。

这个代码只是基础实现，可以根据具体数据集做进一步的调整和优化。如果有其他疑问或进一步需求，欢迎讨论！

问题4要求根据五一黄金周期间小镇对景区周边道路的临时性交通管理措施，结合数据来评价这些措施在两条主路上的效果。具体来说，目标是评估这些交通管理措施在提高通行效率、减少拥堵和优化停车问题方面的效果。

思路概述：

我们可以从多个角度对临时性交通管理措施的效果进行评价，例如：

1. 车流量和通行效率：通过分析交通流量变化、平均车速、车辆通过交叉口的时间等指标，评估管理措施对通行效率的提升。
2. 拥堵情况分析：通过评估各个交叉口的排队长度、拥堵时间和车辆等待时间等，判断管理措施是否减少了拥堵。
3. 停车问题缓解：分析巡游车辆的数量变化，观察停车管理措施（如限行、临时停车位设置等）是否减少了巡游行为。
4. 特殊事件或突发状况处理：分析交通管理措施应对突发大流量（如景区高峰时间段）的效果，是否有效缓解了瞬时高流量造成的拥堵。

数学建模思路：

1. 车流量与通行效率评价模型

我们首先需要衡量交通管理措施前后车流量和通行效率的变化情况，可以从以下几个角度出发：

1.1 流量变化分析

可以根据车流数据（例如车牌号、时间戳和交叉口位置）进行流量分析。通过分析管理措施实施前后的车辆流量变化，判断措施对车流的影响。

定义：

• ( N_{\text{before}}(t) )：措施实施前，单位时间（如小时）内通过某交叉口的车流量。
• ( N_{\text{after}}(t) )：措施实施后，单位时间内通过某交叉口的车流量。

评价指标：

• 相对流量变化率：
  [
  \Delta N = \frac{N_{\text{after}}(t) - N_{\text{before}}(t)}{N_{\text{before}}(t)} \times 100%
  ]
  如果 ( \Delta N > 0 )，则表示管理措施提高了车流量；反之则表示车流量下降。

1.2 平均车速分析

通过车辆的时间戳和不同交叉口的距离，可以计算平均车速，衡量通行效率的变化。

定义：

• ( v_{\text{before}} )：措施实施前的平均车速。
• ( v_{\text{after}} )：措施实施后的平均车速。

评价指标：

• 平均车速变化率：
  [
  \Delta v = \frac{v_{\text{after}} - v_{\text{before}}}{v_{\text{before}}} \times 100%
  ]
  如果 ( \Delta v > 0 )，表示通行效率提升，措施有效。

1.3 车辆延误时间分析

可以分析管理措施实施前后，车辆在交叉口或某段路上的平均延误时间（如等候红灯、拥堵等造成的延迟）。

定义：

• ( T_{\text{delay before}} )：措施实施前，车辆的平均延误时间。
• ( T_{\text{delay after}} )：措施实施后，车辆的平均延误时间。

评价指标：

• 平均延误时间变化率：
  [
  \Delta T_{\text{delay}} = \frac{T_{\text{delay after}} - T_{\text{delay before}}}{T_{\text{delay before}}} \times 100%
  ]
  如果 ( \Delta T_{\text{delay}} < 0 )，表示延误时间减少，通行效率提升。

2. 拥堵情况评价模型

对于拥堵的评价，我们可以使用排队长度、车辆等待时间等作为指标，进行量化分析：

2.1 交叉口排队长度

通过监控数据分析交叉口的排队长度变化。排队长度可以通过同时出现在某个交叉口的车辆数进行近似估算。

定义：

• ( L_{\text{before}}(t) )：措施实施前，交叉口的平均排队长度。
• ( L_{\text{after}}(t) )：措施实施后，交叉口的平均排队长度。

评价指标：

• 相对排队长度变化率：
  [
  \Delta L = \frac{L_{\text{after}}(t) - L_{\text{before}}(t)}{L_{\text{before}}(t)} \times 100%
  ]
  如果 ( \Delta L < 0 )，说明排队长度减少，拥堵情况改善。

2.2 车辆等待时间

在交叉口信号灯前的车辆等待时间是评价拥堵的重要指标。可以通过车辆的时间戳数据来计算车辆等待的时间长度。

定义：

• ( T_{\text{wait before}} )：措施实施前，车辆在红绿灯前的平均等待时间。
• ( T_{\text{wait after}} )：措施实施后，车辆的平均等待时间。

评价指标：

• 平均等待时间变化率：
  [
  \Delta T_{\text{wait}} = \frac{T_{\text{wait after}} - T_{\text{wait before}}}{T_{\text{wait before}}} \times 100%
  ]
  如果 ( \Delta T_{\text{wait}} < 0 )，表示拥堵情况减轻，车辆等待时间减少。

3. 巡游车辆与停车问题评价模型

通过分析巡游车辆的变化，评估停车管理措施是否有效。

3.1 巡游车辆数量

如果景区周边的停车管理措施有效，巡游车辆的数量应该减少。我们可以统计措施实施前后巡游车辆的数量变化。

定义：

• ( N_{\text{cruise before}} )：措施实施前，巡游车辆的数量。
• ( N_{\text{cruise after}} )：措施实施后，巡游车辆的数量。

评价指标：

• 巡游车辆数量变化率：
  [
  \Delta N_{\text{cruise}} = \frac{N_{\text{cruise after}} - N_{\text{cruise before}}}{N_{\text{cruise before}}} \times 100%
  ]
  如果 ( \Delta N_{\text{cruise}} < 0 )，表示巡游车辆数量减少，停车管理措施有效。

3.2 停车需求缓解情况

通过巡游车辆减少后的停车位空余情况来评估措施的效果。

4. 突发事件与大流量处理

交通管理措施的效果也可以通过分析应对突发大流量的能力来评价。例如在高峰时段，流量骤增时，是否通过临时交通引导或车辆分流减少了拥堵。

4.1 高峰时段车流分布

分析高峰时段管理措施对车流的分布是否合理，特别是道路利用率的提升。

定义：

• ( R_{\text{before}} )：措施实施前，各条道路在高峰时段的车流分布。
• ( R_{\text{after}} )：措施实施后，各条道路的车流分布。

评价指标：

• 道路利用率变化：
  [
  \Delta R = \frac{R_{\text{after}} - R_{\text{before}}}{R_{\text{before}}} \times 100%
  ]
  如果 ( \Delta R > 0 )，说明措施提高了道路利用率，分流效果良好。

模型总结

1. 流量与通行效率评价：通过流量、车速、车辆延误时间等指标，评价交通管理措施对通行效率的影响。
2. 拥堵情况分析：通过排队长度、车辆等待时间等，评估管理措施在减少拥堵方面的效果。
3. 停车问题缓解：通过分析巡游车辆的数量变化，评价停车管理措施的效果。
4. 应对大流量的能力：通过高峰时段车流分布，评价交通管理措施的应急能力和流量分配的合理性。

后续步骤

在实施上述思路的过程中，你可以结合附件中的数据，进行具体的数值计算和仿真。例如，可以使用Python来分析车流数据、建模车辆延误时间，并通过数据可视化展示效果。如果有进一步的需求，欢迎随时沟通！

根据问题4的分析，我们将用数学语言详细构建模型，分为车流量与通行效率、拥堵情况、巡游车辆与停车问题、应对高峰车流能力四个方面。

1. 车流量与通行效率模型

1.1 车流量变化分析

车流量是单位时间内通过某个交叉口或路段的车辆数量。假设我们对每个交叉口（或路段）在不同时间段的车流进行监控。

设：

• ( N_{\text{before}}(t) )：管理措施实施前，时间 ( t ) 时单位时间内通过交叉口的车流量（辆/小时）。
• ( N_{\text{after}}(t) )：管理措施实施后，时间 ( t ) 时单位时间内通过交叉口的车流量（辆/小时）。

则相对车流量变化率定义为：
[
\Delta N(t) = \frac{N_{\text{after}}(t) - N_{\text{before}}(t)}{N_{\text{before}}(t)} \times 100%
]

• 当 ( \Delta N(t) > 0 ) 时，表示管理措施增加了车流量。
• 当 ( \Delta N(t) < 0 ) 时，表示车流量减少。

1.2 平均车速变化分析

设：

• ( v_{\text{before}}(t) )：管理措施实施前，时间 ( t ) 时车辆的平均行驶速度（km/h）。
• ( v_{\text{after}}(t) )：管理措施实施后，时间 ( t ) 时车辆的平均行驶速度（km/h）。

平均车速的相对变化率为：
[
\Delta v(t) = \frac{v_{\text{after}}(t) - v_{\text{before}}(t)}{v_{\text{before}}(t)} \times 100%
]

• 当 ( \Delta v(t) > 0 ) 时，表示平均车速增加，通行效率提高。
• 当 ( \Delta v(t) < 0 ) 时，表示平均车速降低，通行效率下降。

1.3 车辆延误时间变化

车辆延误时间是指车辆在路段或交叉口的等待时间，主要由信号灯、拥堵等因素造成。

设：

• ( T_{\text{delay before}}(t) )：管理措施实施前，时间 ( t ) 时车辆的平均延误时间（秒）。
• ( T_{\text{delay after}}(t) )：管理措施实施后，时间 ( t ) 时车辆的平均延误时间（秒）。

平均延误时间的相对变化率为：
[
\Delta T_{\text{delay}}(t) = \frac{T_{\text{delay after}}(t) - T_{\text{delay before}}(t)}{T_{\text{delay before}}(t)} \times 100%
]

• 当 ( \Delta T_{\text{delay}}(t) < 0 ) 时，说明延误时间减少，车辆通行效率提高。
• 当 ( \Delta T_{\text{delay}}(t) > 0 ) 时，表示延误时间增加，车辆通过效率降低。

2. 拥堵情况评价模型

拥堵情况可以通过交叉口的排队长度和车辆等待时间来评估。

2.1 排队长度分析

设：

• ( L_{\text{before}}(t) )：管理措施实施前，时间 ( t ) 时交叉口处的排队长度（辆）。
• ( L_{\text{after}}(t) )：管理措施实施后，时间 ( t ) 时交叉口处的排队长度（辆）。

排队长度的相对变化率为：
[
\Delta L(t) = \frac{L_{\text{after}}(t) - L_{\text{before}}(t)}{L_{\text{before}}(t)} \times 100%
]

• 当 ( \Delta L(t) < 0 ) 时，表示排队长度减少，拥堵情况有所缓解。
• 当 ( \Delta L(t) > 0 ) 时，表示排队长度增加，拥堵加剧。

2.2 车辆等待时间分析

车辆等待时间指车辆在交叉口等候通行的时间，通常与交通信号灯和车流量有关。

设：

• ( T_{\text{wait before}}(t) )：管理措施实施前，时间 ( t ) 时车辆的平均等待时间（秒）。
• ( T_{\text{wait after}}(t) )：管理措施实施后，时间 ( t ) 时车辆的平均等待时间（秒）。

车辆等待时间的相对变化率为：
[
\Delta T_{\text{wait}}(t) = \frac{T_{\text{wait after}}(t) - T_{\text{wait before}}(t)}{T_{\text{wait before}}(t)} \times 100%
]

• 当 ( \Delta T_{\text{wait}}(t) < 0 ) 时，表示等待时间减少，通行效率提升。
• 当 ( \Delta T_{\text{wait}}(t) > 0 ) 时，表示等待时间增加，拥堵情况加剧。

3. 巡游车辆与停车问题评价模型

巡游车辆的数量变化可以反映停车管理措施的效果。如果巡游车辆数量减少，说明停车措施有效缓解了停车问题。

3.1 巡游车辆数量变化分析

设：

• ( N_{\text{cruise before}}(t) )：管理措施实施前，时间 ( t ) 时的巡游车辆数量。
• ( N_{\text{cruise after}}(t) )：管理措施实施后，时间 ( t ) 时的巡游车辆数量。

巡游车辆数量的相对变化率为：
[
\Delta N_{\text{cruise}}(t) = \frac{N_{\text{cruise after}}(t) - N_{\text{cruise before}}(t)}{N_{\text{cruise before}}(t)} \times 100%
]

• 当 ( \Delta N_{\text{cruise}}(t) < 0 )，说明巡游车辆数量减少，停车措施有效。
• 当 ( \Delta N_{\text{cruise}}(t) > 0 )，说明巡游车辆数量增加，停车问题加剧。

4. 高峰车流分布与应对能力

在高峰时段（如黄金周期间），流量骤增可能导致拥堵，管理措施应能够有效分流并缓解拥堵。

4.1 高峰时段车流分布分析

假设在高峰时段，管理措施前后道路的车流分布为：

• ( R_{\text{before}}(i, t) )：管理措施实施前，时间 ( t ) 时第 ( i ) 条道路的车流量占比。
• ( R_{\text{after}}(i, t) )：管理措施实施后，时间 ( t ) 时第 ( i ) 条道路的车流量占比。

高峰时段各条道路的车流量变化为：
[
\Delta R(i, t) = \frac{R_{\text{after}}(i, t) - R_{\text{before}}(i, t)}{R_{\text{before}}(i, t)} \times 100%
]

• 当 ( \Delta R(i, t) > 0 ) 时，说明措施有效分流，某些道路的车流量增加，缓解了其他道路的压力。
• 当 ( \Delta R(i, t) < 0 ) 时，说明措施未能有效分流，可能造成了某些道路的拥堵。

5. 综合评价指标

通过对上述各项评价指标进行汇总，可以得出管理措施的综合效果。可以为每个指标赋予一定权重，计算总评分：

综合评价指标 ( S )：
[
S = w_1 \Delta N + w_2 \Delta v + w_3 \Delta T_{\text{delay}} + w_4 \Delta L + w_5 \Delta T_{\text{wait}} + w_6 \Delta N_{\text{cruise}} + w_7 \Delta R
]
其中，( w_1, w_2, \dots, w_7 ) 为各个指标的权重，权重可以根据实际情况进行调整，确保各指标的影响程度适当。

总结

1. 车流量与通行效率模型：通过分析车流量、平均车速、延误时间来评估交通管理措施的效果。
2. 拥堵情况分析模型：通过排队长度和车辆等待时间来分析拥堵的变化。
3. 巡游车辆与停车问题模型：通过巡游车辆数量的变化，评估停车管理措施的有效性。
4. **高峰

以下是根据问题4建立的数学模型的Python实现。代码将涵盖车流量变化、通行效率、拥堵情况以及停车管理的评价。

1. 导入必要的库

1
2
3

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

2. 数据预处理

假设你的数据包含以下字段：

• timestamp: 车辆的时间戳。
• vehicle_id: 车辆的车牌号。
• location: 车辆所在的交叉口或路段。
• speed: 车辆的速度（km/h）。
• delay: 车辆的延误时间（秒）。
• queue_length: 交叉口的排队长度（辆）。
• waiting_time: 车辆等待时间（秒）。
• is_cruising: 标记是否为巡游车辆。

将数据读入Pandas DataFrame：

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# 读取数据
data_before = pd.read_csv('traffic_data_before.csv')  # 措施实施前数据
data_after = pd.read_csv('traffic_data_after.csv')    # 措施实施后数据

# 确保时间戳为datetime类型
data_before['timestamp'] = pd.to_datetime(data_before['timestamp'])
data_after['timestamp'] = pd.to_datetime(data_after['timestamp'])

3. 车流量与通行效率评价模型

3.1 车流量变化

定义车流量变化率：

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def calculate_flow_change(data_before, data_after):
    # 统计每个时间段的车流量
    flow_before = data_before.groupby(data_before['timestamp'].dt.hour).size()
    flow_after = data_after.groupby(data_after['timestamp'].dt.hour).size()

    # 计算车流量变化率
    flow_change = ((flow_after - flow_before) / flow_before) * 100
    return flow_change

# 计算车流量变化
flow_change = calculate_flow_change(data_before, data_after)
print(flow_change)

# 可视化车流量变化
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(flow_change.index, flow_change, label='Flow Change (%)', marker='o')
plt.title('Hourly Traffic Flow Change')
plt.xlabel('Hour of Day')
plt.ylabel('Flow Change (%)')
plt.axhline(0, color='r', linestyle='--', label='No Change')
plt.legend()
plt.show()

3.2 平均车速变化

计算平均车速的变化率：

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def calculate_speed_change(data_before, data_after):
    speed_before = data_before.groupby(data_before['timestamp'].dt.hour)['speed'].mean()
    speed_after = data_after.groupby(data_after['timestamp'].dt.hour)['speed'].mean()

    # 计算车速变化率
    speed_change = ((speed_after - speed_before) / speed_before) * 100
    return speed_change

# 计算车速变化
speed_change = calculate_speed_change(data_before, data_after)
print(speed_change)

# 可视化车速变化
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(speed_change.index, speed_change, label='Speed Change (%)', marker='o')
plt.title('Hourly Speed Change')
plt.xlabel('Hour of Day')
plt.ylabel('Speed Change (%)')
plt.axhline(0, color='r', linestyle='--', label='No Change')
plt.legend()
plt.show()

3.3 延误时间变化

计算延误时间的变化率：

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def calculate_delay_change(data_before, data_after):
    delay_before = data_before.groupby(data_before['timestamp'].dt.hour)['delay'].mean()
    delay_after = data_after.groupby(data_after['timestamp'].dt.hour)['delay'].mean()

    # 计算延误时间变化率
    delay_change = ((delay_after - delay_before) / delay_before) * 100
    return delay_change

# 计算延误时间变化
delay_change = calculate_delay_change(data_before, data_after)
print(delay_change)

# 可视化延误时间变化
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(delay_change.index, delay_change, label='Delay Change (%)', marker='o')
plt.title('Hourly Delay Change')
plt.xlabel('Hour of Day')
plt.ylabel('Delay Change (%)')
plt.axhline(0, color='r', linestyle='--', label='No Change')
plt.legend()
plt.show()

4. 拥堵情况评价模型

4.1 排队长度变化

计算排队长度变化率：

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def calculate_queue_change(data_before, data_after):
    queue_before = data_before.groupby(data_before['timestamp'].dt.hour)['queue_length'].mean()
    queue_after = data_after.groupby(data_after['timestamp'].dt.hour)['queue_length'].mean()

    # 计算排队长度变化率
    queue_change = ((queue_after - queue_before) / queue_before) * 100
    return queue_change

# 计算排队长度变化
queue_change = calculate_queue_change(data_before, data_after)
print(queue_change)

# 可视化排队长度变化
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(queue_change.index, queue_change, label='Queue Length Change (%)', marker='o')
plt.title('Hourly Queue Length Change')
plt.xlabel('Hour of Day')
plt.ylabel('Queue Length Change (%)')
plt.axhline(0, color='r', linestyle='--', label='No Change')
plt.legend()
plt.show()

4.2 车辆等待时间变化

计算车辆等待时间变化率：

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def calculate_waiting_time_change(data_before, data_after):
    wait_before = data_before.groupby(data_before['timestamp'].dt.hour)['waiting_time'].mean()
    wait_after = data_after.groupby(data_after['timestamp'].dt.hour)['waiting_time'].mean()

    # 计算等待时间变化率
    waiting_time_change = ((wait_after - wait_before) / wait_before) * 100
    return waiting_time_change

# 计算等待时间变化
waiting_time_change = calculate_waiting_time_change(data_before, data_after)
print(waiting_time_change)

# 可视化等待时间变化
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(waiting_time_change.index, waiting_time_change, label='Waiting Time Change (%)', marker='o')
plt.title('Hourly Waiting Time Change')
plt.xlabel('Hour of Day')
plt.ylabel('Waiting Time Change (%)')
plt.axhline(0, color='r', linestyle='--', label='No Change')
plt.legend()
plt.show()

5. 巡游车辆与停车问题评价

5.1 巡游车辆数量变化

计算巡游车辆数量变化率：

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def calculate_cruising_change(data_before, data_after):
    cruising_before = data_before[data_before['is_cruising'] == True].groupby(data_before['timestamp'].dt.hour).size()
    cruising_after = data_after[data_after['is_cruising'] == True].groupby(data_after['timestamp'].dt.hour).size()

    # 计算巡游车辆数量变化率
    cruising_change = ((cruising_after - cruising_before) / cruising_before) * 100
    return cruising_change

# 计算巡游车辆数量变化
cruising_change = calculate_cruising_change(data_before, data_after)
print(cruising_change)

# 可视化巡游车辆数量变化
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(cruising_change.index, cruising_change, label='Cruising Vehicles Change (%)', marker='o')
plt.title('Hourly Cruising Vehicles Change')
plt.xlabel('Hour of Day')
plt.ylabel('Cruising Vehicles Change (%)')
plt.axhline(0, color='r', linestyle='--', label='No Change')
plt.legend()
plt.show()

6. 高峰车流分布与应对能力

6.1 高峰时段车流分布

分析管理措施前后高峰时段的车流分布：

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def calculate_peak_flow_distribution(data_before, data_after, peak_hour):
    # 计算高峰时段前后各道路的车流分布
    peak_flow_before = data_before[data_before['timestamp'].dt.hour == peak_hour].groupby('location').size()
    peak_flow_after = data_after[data_after['timestamp'].dt.hour == peak_hour].groupby('location').size()

    # 计算高峰时段各路段车流分布变化率
    peak_flow_change = ((peak_flow_after - peak_flow_before) / peak_flow_before) * 100
    return peak_flow_change

# 计算高峰时段车流分布变化
peak_hour = 15  # 假设15点是高峰时段
peak_flow_change = calculate_peak_flow_distribution(data_before, data_after, peak_hour)
print(peak_flow_change)

# 可视化高峰时段车流分布变化
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.bar(peak_flow_change.index, peak_flow_change)
plt.title(f'Peak Hour ({peak_hour}) Flow Distribution Change')
plt.xlabel('Location')
plt.ylabel('Flow Distribution Change (%)')
plt.axhline(0, color='r', linestyle='--', label='No Change')
plt.legend()
plt.show()